应用统计硕士 · MAS

从确定到随机

精算的另一半：生命表与生存模型

第 8 次课 4 学时 · 180 分钟 教师讲授 + 工作坊
课程定位

两条主线的交汇点

已完成

主线一：货币的时间价值

复利 · 年金 · 收益率 · 贷款 · 债券

本次开启

主线二：生命的不确定性

生存函数 · 生命表 · 死亡力

PV = CF × vt × tpx

上次课的折现因子 vt 不变，现在加入生存概率 tpx

核心问题

为什么要引入
不确定性？

主线一：确定世界

银行定期存款——你一定会拿到本息

贷款还款——你知道每期还多少

所有现金流确定发生

主线二：随机世界

保险赔付——被保险人可能不死

年金领取——活得越久领得越多

现金流依赖是否发生随机事件

精算 = 把概率的世界按确定的方式定价

第一节 · 生存模型

生存函数 S(x)

定义

S(x) = Pr(X > x)

新生儿生存到 x 岁以上的概率

性质

  • S(0) = 1（出生时一定存活）
  • S(ω) = 0（极限年龄 ω 处趋近 0）
  • S(x) 单调非增
  • 连续情形下可微

X = 新生儿的死亡年龄（随机变量），S(x) 是其生存函数（survival function）

核心概念

死亡力 μx
与统计学的关联

μx = − S'(x)/S(x) = − d/dx ln S(x)

死亡力 = 瞬时死亡率

含义：在 x 岁尚存活的人，在下一瞬间死亡的概率密度

统计学视角

μx ≡ Hazard Rate

= 风险函数 h(t) in 生存分析

= 失效率 λ(t) in 可靠性工程

你们的生存分析课程学过它！

直观理解

μx 告诉了我们什么？

μ20 < μ80

年轻人死亡力低

μ 随年龄递增（浴盆曲线的高龄段）

μ(m) < μ(f)

男性各年龄死亡力更高

不同人群的 μ 曲线不同

μx · dx ≈ qx

短区间内近似死亡概率

连续 → 离散的桥梁

S(x) = exp(− ∫0x μt dt)

有了 μx 的表达式，就能完整描述整个生存分布

第二节 · 生命表

生命表五要素

lx

生存人数

初始 l0=100,000

活到 x 岁的人数

dx

死亡人数

dx = lx − lx+1

在 x ~ x+1 岁间死亡

qx

死亡率

qx = dx / lx

x 岁的人在一年内死亡概率

px

生存率

px = 1 − qx = lx+1/lx

x 岁的人活到 x+1 岁的概率

ėx

平均余命

x 岁的人平均还能活多久

精算定价的关键输入！

生命表的构造

递推算法

l0 = 100,000
↓
lx+1 = lx · (1 − qx)
↓
dx = lx − lx+1 = lx · qx

起点

l0 = 100,000（基数/根）

任意选取，只是比例尺度

核心输入

死亡率 qx

来自人口统计或行业经验

终点

lω ≈ 0

极限年龄 ω ≈ 100~120

示例

生命表片段（简化）

xlxdxqxpxėx
0100,0001,2000.012000.9880078.5
198,8001800.001820.9981878.4
2097,500980.001010.9989960.1
4095,2002380.002500.9975041.2
6087,3001,0480.012000.9880023.5
6583,1001,4960.018000.9820019.3
8042,5003,0600.072000.928009.2
1004202100.500000.500001.9

qx 呈现"浴盆曲线"：婴儿期高 → 青年期低 → 中年后加速上升

多期扩展

从一年到 t 年

tpx = lx+t / lx

x 岁的人活到 x+t 岁的概率

tqx = 1 − tpx

x 岁的人在 t 年内死亡的概率

链式法则

tpx = px · px+1 ··· px+t−1

每年都活下来的概率 = 各年生存率的乘积

（条件概率的链式法则）

概念辨析

qx vs μx

qx

年死亡率（离散）

一年内死亡的概率

0 ≤ qx ≤ 1

μx

瞬时死亡率（连续）

瞬间死亡的条件概率密度

μx ≥ 0, 无上界

qx ≈ 1 − exp(−μx)（恒定死亡力假设下）

离散 qx 是连续 μx 在一年区间上的累积

实践中的生命表

两种生命表

国民生命表

Population Table

  • 基于全国人口普查数据
  • 反映全体国民的死亡率
  • 包含健康与不健康人群
  • 用于社会保障、公共卫生

保险业经验生命表

Experience Table

  • 基于保险公司被保险人数据
  • 反映有保险人群的死亡率
  • 存在选择效应
  • 用于保险定价和准备金

中国银保监会发布《中国人身保险业经验生命表》（CL1-CL6），每约10年修订一次

深入理解

选择效应

为什么被保险人死亡率更低？

  • 核保筛选——体检不合格者被拒保或加费
  • 自我选择——健康意识强的人才买保险
  • 经济门槛——能支付保费者通常收入较高
  • 逆选择风险——感觉快死的人更想买保险

精算含义

寿险（死亡赔付）：使用较高死亡率→保费更高→谨慎

年金（生存给付）：使用较低死亡率→保费更高→谨慎

原则：保守估计，确保偿付能力充足

统计学视角

生命表 = 离散化生存分析

你们熟悉的工具

  • 生存函数 S(t) ≡ S(x)
  • 风险函数 h(t) ≡ μx
  • Kaplan-Meier 估计
  • Cox 比例风险模型
  • 截断、删失数据

精算的特殊之处

  • 整数年龄离散化（Δx=1年）
  • 大样本下的经验估计
  • 长期外推与平滑
  • 分人群亚组生命表
  • 死亡率改善模型

统计学生在精算领域有天然优势——你们早已掌握这些核心工具

应用概览

生存模型在精算中的
三种核心应用

人寿保险定价

投保人死亡才赔付

需要 qx 计算期望赔付

E[赔付] = 保额 × qx

年金定价

被保险人活着才给付

需要 tpx 计算期望给付

ax = Σ vt·tpx

准备金评估

未来净负债的期望现值

需要完整生命表路径

Session 9 深入介绍

工作坊 8

用 Python 构建生命表

①

给定 qx 序列，递推生成完整生命表

l0=100000, lx+1=lx·(1−qx)，计算 dx, px, ėx

②

可视化 lx 曲线和 qx 曲线

观察浴盆曲线形态，比较男女差异

③

计算精算现值因子

vt · tpx：折现 × 生存概率

④

简单保费计算

基于生命表的一年期定期寿险纯保费

Jupyter Notebook · AI 辅助 · 独立完成 · 45分钟

本课总结

核心要点

  • 生存函数 S(x) 描述寿命分布 | μx ≡ Hazard Rate（统计学生已熟悉）
  • 生命表五要素：lx, dx, qx, px, ėx — 核心递推关系
  • l0 = 100,000 → lx+1 = lx · (1 − qx) — 整个表由此生成
  • 国民生命表 ≠ 保险业经验生命表 — 选择效应导致死亡率差异
  • 精算现值 = 折现因子 × 生存概率 — 两条主线的数学交汇
  • 生命表 = 离散化生存分析 — 统计学生的知识体系完全适用
下次课预告

两条主线的汇合

保费、准备金与课程总结

将折现因子与生存概率结合——完成精算定价的最后一块拼图

课后任务：完成工作坊代码 · 预习保费计算 · 准备期末项目