Session 6

债券定价与利率风险

Bond Pricing · Yield Curve · Duration · Convexity · Immunization

保险精算基础 · 第6次课

本讲内容

01
债券基本要素与定价

票面利率 · 到期收益率 · 定价公式

02
溢价、折价与平价

息票率 vs 到期收益率的关系

03
价格-收益率曲线

反向关系 · 凸性特征

04
久期与凸度

Macaulay Duration · Modified Duration · Convexity

05
免疫策略

Immunization · 资产负债匹配

Part 1

债券基本要素与定价公式

Bond Fundamentals · Pricing Formula

债券的基本要素

F
面值（Face Value / Par Value）
到期偿还的本金金额
r
票面利率（Coupon Rate）
每期按面值支付的利率
Fr
每期息票（Coupon Payment）
每期实际支付的利息金额
n
剩余付息期数
距到期还有多少期
i
到期收益率（YTM）
投资者要求的回报率
P
债券价格
未来现金流的现值之和

债券定价基本公式

债券价格等于所有未来现金流的现值之和：息票收入的年金现值 + 面值的贴现。

债券定价公式
P = Fr · an|i + F · vn
Fr · an|
息票收入的现值（年金部分）
F · vn
面值的现值（本金部分）

定价公式的等价形式

利用年金与贴现因子的关系，可以推导出多种便于计算的形式：

P = F + F · (r − i) · an|i

直观解释：债券价格 = 面值 + 息票率与收益率之差的年金现值

当 r > i 时 P > F（溢价）；当 r < i 时 P < F（折价）；当 r = i 时 P = F（平价）

债券定价示例

面值 1000 元，票面利率 6%（每年付息），剩余 5 年，到期收益率 8%。

P = 60 · a5|0.08 + 1000 · (1.08)−5
= 60 × 3.9927 + 1000 × 0.6806
= 239.56 + 680.58 = 920.14 元

P = 920.14 < F = 1000 → 折价债券（r = 6% < i = 8%）

Part 2

溢价、折价与平价债券

Premium · Discount · Par Bonds

三种价格关系

类型 条件 价格 解释
平价债券 r = i P = F 息票率等于市场收益率，债券按面值交易
溢价债券 r > i P > F 息票率高于市场收益率，投资者愿意支付高于面值的价格
折价债券 r < i P < F 息票率低于市场收益率，债券以低于面值的价格交易
P − F = F · (r − i) · an|i

溢价债券的摊销

溢价债券的价格随时间逐步下降，到期时回归面值 F。这一过程称为溢价摊销（Premium Amortization）。

发行时
P₀ > F
→
期间
溢价摊销
→
到期时
Pₙ = F

账面价值 = 债券价格 = 未来现金流的现值 → 随时间逐步趋向面值

Part 3

价格-收益率曲线

Price-Yield Relationship · Convexity

价格-收益率关系

债券价格与收益率之间存在反向关系，且呈凸性（Convexity）：

  • 收益率 ↑ → 价格 ↓
  • 收益率 ↓ → 价格 ↑
  • 曲线向下凸（Convex）
  • 收益率下降时价格上涨幅度 > 收益率上升时价格下跌幅度
到期收益率 i 债券价格 P P=F（平价） 溢价区 折价区

凸性（Convexity）

价格-收益率曲线凸向原点，意味着：对同样的收益率变化，价格上涨幅度 > 价格下跌幅度。这是债券投资者的有利特性。

Δi ↓
价格上涨
+ΔP₁
幅度较大
Δi ↑
价格下跌
−ΔP₂
幅度较小
|ΔP₁| > |ΔP₂|
凸性优势
利率下降收益更大
Part 4

久期与凸度

Macaulay Duration · Modified Duration · Convexity

麦考利久期（Macaulay Duration）

久期是债券未来现金流发生时间的加权平均，权重为各期现金流现值占债券总价格的比例。

D = Σt=1n t · CFt · vt⁄P

直观理解：久期衡量收回债券投资平均需要多长时间。单位：年。零息债券的久期 = 到期时间。

D ≤ n
久期不超过到期时间
r↑ → D↓
票面利率越高久期越短
i↑ → D↓
收益率越高久期越短

修正久期（Modified Duration）

修正久期衡量债券价格对收益率变化的一阶敏感度，即价格-收益率曲线在当前位置的斜率。

D* = D⁄1 + i
ΔP⁄P ≈ − D* · Δi
D* = 4.2
收益率上升 1%（100bp）→ 价格约下跌 4.2%
D* = 7.8
收益率下降 0.5%（50bp）→ 价格约上涨 3.9%

凸度（Convexity）

凸度衡量价格-收益率关系的二阶效应（曲率），修正久期的一阶近似在收益率变化较大时误差显著。

C = Σt=1n t(t+1) · CFt · vt⁄P · (1+i)2
ΔP⁄P ≈ − D* · Δi + 1⁄2 · C · (Δi)2

凸度总是正的，它使实际价格变化优于仅用久期的线性近似。凸度越大，债券对利率变化的保护越好。

Part 5

免疫策略

Immunization Strategy

免疫（Immunization）

免疫是一种利率风险管理策略：使资产组合的久期等于负债的久期，从而使资产价值对利率变化的敏感度与负债匹配。

DA
资产组合久期
=
DL
负债久期

当利率变化时，资产价值的变化 ≈ 负债价值的变化 → 盈余（Surplus）保持稳定

Redington 免疫条件

Redington（1952）提出免疫的三个条件：

①

现值相等
PVA = PVL

②

久期相等
DA = DL

③

资产凸度更大
CA > CL

满足上述条件后，利率的小幅平行变动不会导致盈余减少。

关键公式汇总

债券定价公式
P = Fr·an| + F·vn
溢价/折价公式
P − F = F(r−i)·an|
麦考利久期
D = Σ t·CFt·vt / P
修正久期
D* = D/(1+i)
价格变化（一阶）
ΔP/P ≈ −D*·Δi
价格变化（二阶）
ΔP/P ≈ −D*·Δi + ½·C·(Δi)²

本讲小结

  • 债券定价 = 未来现金流贴现

    P = Fr·a_n| + F·v^n。息票收入年金 + 面值贴现。债券价格与收益率反向变动。

  • 溢价/折价取决于 r 与 i 的关系

    r > i → 溢价；r < i → 折价；r = i → 平价。溢价随时间摊销至面值。

  • 久期衡量利率风险的一阶敏感度

    麦考利久期：加权平均回收期；修正久期：价格变化百分比 ≈ −D*·Δi。

  • 凸度改善久期近似，免疫策略匹配资产负债

    凸度始终有利。Redington免疫：现值相等 + 久期相等 + 资产凸度更大。