应用统计硕士 · MAS

投资收益率与
现金流分析

第四次课：NPV · IRR · MWRR · TWRR

4 学时 · 180 分钟 金融数学第三课 9 次课 · 36 学时
复习导入

上次课
我们掌握了什么？

年金现值

期末付 a_n| = (1−vⁿ)/i

期初付 ä_n| = (1−vⁿ)/d

永续 a_∞ = 1/i

核心能力

  • 画现金流时间图
  • 用 a_n| 和 ä_n| 求现值
  • 现值 ↔ 终值换算

今天：给定一项投资，它的"收益率"到底是多少？

本节概览

今天要回答的
三个核心问题

第一问

这个投资项目值不值得做？

NPV · 净现值

第二问

项目的回报率是多少？

IRR · 内部收益率

第三问

基金经理 vs 基民，谁赚了？

MWRR vs TWRR

从"评估一个项目"到"评估一个基金经理"。

第一节 · 净现值

NPV · 净现值
Net Present Value

定义

将所有未来现金流按给定利率折现到 t=0，然后求和。

NPV = Σ C_t / (1+i)^t

C_t 可以是正（收入）或负（支出）

决策规则

NPV > 0

→ 接受项目

项目创造了超额价值

NPV < 0

→ 拒绝项目

投资回报低于资金成本

NPV 实例

一个简单的
投资决策

问题

初始投入 10,000 元，未来 3 年每年收回 4,000 元。资金成本 i=8%。

现金流序列

t=0: −10,000 | t=1,2,3: +4,000

计算

NPV = −10,000 + 4,000 · a_3|

a_3| = (1−1.08^(−3))/0.08 ≈ 2.5771

结果

+308.40 元

NPV > 0，接受项目 ✓

第二节 · 内部收益率

IRR · 内部收益率
Internal Rate of Return

定义

IRR 是使得 NPV 恰好等于 0 的折现率。

NPV(r) = Σ C_t/(1+r)^t = 0

解出 r 就是 IRR

决策规则

IRR > 资金成本 i

→ 接受

回报率超过了融资成本

IRR < i

→ 拒绝

回报不及融资成本

IRR 数学本质

IRR 是一个
高次方程的根

方程

设 v = 1/(1+r)，则 NPV=0 等价于多项式方程

C₀ + C₁·v + C₂·v² + ... + C_n·vⁿ = 0
特点
  • n 次多项式，最多 n 个实根
  • 通常没有解析解（n>4 时）
  • 需要数值方法求解
实用方法

二分法（稳定但慢）和 牛顿法（快但需导数）

数值方法 · 二分法

Bisection Method
二分法求解 IRR

算法步骤

  • 设定区间 [a, b]，使 NPV(a) > 0 且 NPV(b) < 0
  • 取中点 c = (a+b)/2
  • 若 NPV(c) ≈ 0，则 IRR = c
  • 否则按 NPV(c) 符号缩小区间
  • 重复直到 |b−a| < ε

特点

✓ 必定收敛

只要区间两端异号

✗ 收敛较慢

每次迭代误差减半（线性收敛）

约 10 次迭代 → 3 位有效数字

数值方法 · 牛顿法

Newton-Raphson
牛顿法求解 IRR

迭代公式

rₖ₊₁ = rₖ − NPV(rₖ)/NPV'(rₖ)

其中 NPV'(r) = Σ (−t)·C_t/(1+r)^(t+1)

特点

✓ 二次收敛，极快

每次迭代有效位数翻倍

✗ 可能不收敛

初值敏感，需靠近真解

实践建议

先用二分法锁定大致区间，再用牛顿法加速收敛——Excel IRR() 函数就类似这么做。

第三节 · 币值加权收益率

MWRR
Money-Weighted RRR

定义

MWRR 就是 IRR——将所有现金流（包括追加/赎回）的时间点考虑在内。

Σ CF_t / (1+r)^t = 0

CF_t 包括初始投资、追加投入（正）、赎回（负）

特点

  • 反映投资者实际获得的回报
  • 受资金流入流出时间影响
  • 高位加仓 → MWRR低于基金收益率
  • 也叫 Dollar-Weighted Rate of Return
第三节 · 时间加权收益率

TWRR
Time-Weighted RRR

定义

将投资期按现金流发生点分段，计算每段收益率，再几何平均。

1 + TWRR = ∏ (1 + rₖ)

rₖ = 第 k 段时间内的收益率

特点

  • 反映基金经理的投资能力
  • 不受资金流入流出时间影响
  • 行业标准：评估基金经理用 TWRR
  • 也叫 Geometric Rate of Return
核心对比

MWRR vs TWRR
一张表看懂

MWRR

币值加权收益率

谁的角度？投资者

受资金流动影响？是

等同于？IRR

公式：NPV = 0

TWRR

时间加权收益率

谁的角度？基金经理

受资金流动影响？否

等同于？几何平均

公式：∏ (1+rₖ)

关键洞察：基金赚钱 ≠ 基民赚钱

经典案例

基金年化 15%
但基民平均亏损

场景

某基金净值走势：年初 1.00 → 年中 1.50 → 年末 1.20

TWRR（基金真实收益率）

20%

(1.50/1.00) × (1.20/1.50) − 1

基民行为

年初投 100 → 年中看到涨了 50%，追加 900 → 共 1000 元在 1.50

年末市值

800 元

MWRR（基民实际收益率）

−20%

总投入1000，只剩800

行为金融学视角

为什么基民
总是"高买低卖"？

追涨杀跌

看到涨了才进场→高位接盘

看到跌了就赎回→低位割肉

过度自信

认为自己能择时

频繁交易增加摩擦成本

解决方案

定投 · 长期持有 · 少看账户

让 MWRR 接近 TWRR

"投资者的回报 ≠ 投资的回报"

—— 行为金融学经典发现：Dalbar 研究，1994-2024

方法论总结

评估任何投资的
统一框架

1

列出全部现金流

正收入、负支出，标注时间点

2

确定折现率（资金成本）

用 NPV 判断项目价值

3

求解 IRR

二分法/牛顿法/Excel IRR()

4

分解收益率

MWRR 看投资者，TWRR 看管理人

本课总结

核心要点

NPV = Σ C_t/(1+i)^t：评估项目价值的基石

IRR：使 NPV=0 的折现率；需用数值方法求解

二分法：稳定必收敛 | 牛顿法：快速但初值敏感

MWRR = IRR：币值加权，受资金流动影响 → 看基民

TWRR = 几何平均：时间加权，剔除了资金流动 → 看经理

关键洞察：基金赚钱 ≠ 基民赚钱——因为追涨杀跌

下次课：贷款偿还与摊销

课后任务：用 Excel 实现二分法求 IRR · 分析一支基金的 TWRR