应用统计硕士 · MAS

确定年金

第三次课：现金流的时间价值

4 学时 · 180 分钟 金融数学第二课 9 次课 · 36 学时
复习导入

上次课
我们学了什么？

利率度量

d = i/(1+i)
1+i = (1+i^(m)/m)^m
δ = ln(1+i)

核心能力

  • 单利 vs 复利计算
  • i, d, i^(m), d^(m), δ 换算
  • 折现因子 v = 1/(1+i)

今天：如何把一系列现金流"压缩"成一个现值？

本节概览

今天要掌握的
核心工具

第一步

现金流时间图

时间轴 + 箭头方向

第二步

等额确定年金

a_n| · ä_n| · a_∞

第三步

变额年金

(Ia)_n| · 递增·递减

年金是金融数学的"瑞士军刀"——房贷、养老金、债券都离不开它。

核心工具

现金流时间图
Timeline Diagram

n 期等额年金，每期 1 元：

时间  0 1 2 3 ··· n−1 n
↓1 ↓1 ↓1 ... ↓1 ↓1

箭头向下 ↓

付款（支出）

箭头向上 ↑

收款（收入）

黄金法则

先画时间图，再写公式

概念定义

什么是年金？
Annuity

定义

年金是一系列在等间隔时间点上支付的款项。

关键特征

  • 等时间间隔（年、月、季）
  • 确定支付（非 contingent）
  • 等额或变额

生活中的年金

  • 每月还房贷 → 等额年金
  • 退休后每月领养老金 → 生存年金
  • 每年收房租 → 永续年金
  • 工资递增 → 递增年金
第一节 · 期末付年金

期末付年金
Annuity-Immediate

记号

a_n|

读作 "a angle n"

每期期末付 1 元，共 n 期的现值。

公式

a_n| = v + v² + ... + vⁿ
a_n| = (1 − vⁿ) / i
a_n| = v · (1 − vⁿ) / (1 − v)

注意：期末付年金是"先折现、再加总"——每笔现金流折现到 t=0。

公式推导

a_n| = (1 − vⁿ) / i
的推导过程

等比数列

a_n| = v + v² + v³ + ... + vⁿ，这是一个等比数列

求和公式

首项 = v，公比 = v，项数 = n

推导
S = v·(1 − vⁿ)/(1 − v)

因为 v = 1/(1+i)，所以 1−v = i/(1+i) = i·v

代入得：

a_n| = (1 − vⁿ) / i
实例演算

房贷月供
背后就是 a_n|

问题

贷款 100 万元，年利率 5%，30 年还清（年末等额偿还），每年还多少？

解法

100万 = X · a_30|

a_30| = (1−1.05^(−30))/0.05 ≈ 15.3725

每年还款

6.51 万

30年总还款 195.3万

第二节 · 期初付年金

期初付年金
Annuity-Due

记号

ä_n|

读作 "a-double-dot angle n"

每期期初付 1 元，共 n 期的现值。

公式

ä_n| = 1 + v + v² + ... + v^(n−1)
ä_n| = (1 − vⁿ) / d
ä_n| = a_n| · (1 + i)

关键关系：ä_n| = a_n| · (1+i)。期初付比期末付多折现一次。

关键关系

ä_n| = a_n| · (1 + i)

直观理解

ä_n| 的每笔支付比 a_n| 早一期→少折现一次→每笔乘以 (1+i)

ä_n| = a_n| · (1 + i)

用 d 表示

因为 d = i/(1+i)，所以 1/d = (1+i)/i

ä_n| = (1 − vⁿ) / d

与 a_n| = (1−vⁿ)/i 对称

期末付

a_n| = (1−vⁿ)/i

期初付

ä_n| = (1−vⁿ)/d
实例演算

租房：月初付 vs 月末付

问题

每月租金 3000 元，年利率 6%，租期 1 年。月初付（期初付）vs 月末付（期末付），现值差多少？

计算

月利率 j = 0.5%

月末付 PV

34,782 元

月初付 PV

34,956 元

多 174 元（约 0.5%）

第三节 · 永续年金

永续年金
Perpetuity

概念

永远支付的年金。n → ∞。

a_∞ = lim a_n| = 1 / i

期初付：ä_∞ = 1/d = (1+i)/i

示例

如果年利率 5%，每年想永久领取 5 万：

所需本金

100 万

5万 / 5% = 100万

应用场景

优先股股息 · 永久债券（Consol） · 房地产估值（NOI/cap rate）

公式推导

为什么 a_∞ = 1/i ？

从 a_n| = (1 − vⁿ)/i 出发：

当 n → ∞ 时，vⁿ → 0（因为 0 < v < 1）

a_∞ = lim(n→∞) (1 − vⁿ)/i = 1/i

直观解释

本金 P = 1/i 产生利息 i·P = i·(1/i) = 1

利息恰好覆盖每年的 1 元支付

永续期初付

ä_∞ = 1/d

= (1+i)/i = 1/i + 1

概念对比

期末付 vs 期初付
一张表看懂

期末付 a_n|

a_n| = (1−vⁿ)/i

每期末付，共 n 期

首笔在 t=1

末笔在 t=n

期初付 ä_n|

ä_n| = (1−vⁿ)/d

每期初付，共 n 期

首笔在 t=0

末笔在 t=n−1

永续期末付

a_∞ = 1/i

永续期初付

ä_∞ = 1/d

关系

ä_n| = a_n|(1+i)
第四节 · 变额年金

变额年金
Varying Annuity

为什么需要变额？

现实中很少有"永远等额"的现金流：

  • 工资逐年递增
  • 分期付款递减
  • 阶梯式租金调整

标准递增年金 (Ia)_n|

第 t 期支付 t 元（t=1,2,...,n）

(Ia)_n| = (ä_n| − n·vⁿ) / i
公式推导

(Ia)_n| 推导

定义

(Ia)_n| = v + 2v² + 3v³ + ... + n·vⁿ

推导

令 S = v + 2v² + ... + n·vⁿ，则 vS = v² + 2v³ + ... + n·v^(n+1)

(1−v)S = v + v² + ... + vⁿ − n·v^(n+1) = a_n| − n·v^(n+1)

因为 1−v = i·v，两边除以 i·v：

(Ia)_n| = (a_n| − n·v^(n+1)) / (i·v)
(Ia)_n| = (ä_n| − n·vⁿ) / i
补充 · 年金终值

累积值
Accumulated Value

期末付年金终值 s_n|

s_n| = a_n| · (1+i)^n
s_n| = ((1+i)^n − 1) / i

期初付年金终值 s̈_n|

s̈_n| = ä_n| · (1+i)^n
s̈_n| = ((1+i)^n − 1) / d

关系链

a_n| →×(1+i)^n → s_n|

ä_n| →×(1+i)^n → s̈_n|

本课总结

核心要点

现金流时间图：先画图，再写公式

期末付年金：a_n| = (1 − vⁿ) / i

期初付年金：ä_n| = (1 − vⁿ) / d = a_n|(1+i)

永续年金：a_∞ = 1/i，ä_∞ = 1/d

变额年金：(Ia)_n| = (ä_n| − n·vⁿ) / i

年金终值：s_n| = a_n|(1+i)^n，s̈_n| = ä_n|(1+i)^n

下次课：投资收益率与现金流分析

课后任务：练习年金现值计算 · 预习 IRR 概念