应用统计硕士 · MAS

利息的度量

第二次课：单利、复利与利息力

4 学时 · 180 分钟 金融数学第一课 9 次课 · 36 学时
复习导入

上次课的核心问题

"面对不确定的未来，我们今天应该准备多少钱？"

答案的两个维度

维度一

货币的时间价值

今天的1元 ≠ 明天的1元

← 第2-7次课 · 金融数学

维度二

生命的不确定性

何时发生？概率多大？

← 第8-9次课 · 生命表

本节概览

今天要掌握的
核心概念

第一节

积累函数与利息

a(t) · 单利 · 复利

第二节

实际利率与贴现率

i · d · d = i/(1+i)

第三节

名义利率与利息力

i^(m) · d^(m) · δ

金融数学从"度量金钱的时间价值"开始。

第一节 · 核心问题

今天的 1 元
≠ 明天的 1 元

如果你借出 10,000 元给朋友，一年后他还你 10,000 元——你亏了吗？

通货膨胀

购买力随时间下降

机会成本

钱本可以用于其他投资

风险补偿

承担违约风险的回报

→ 利息是对"延迟消费"和"承担风险"的补偿

第一节 · 基础概念

积累函数
Accumulation Function

定义

a(t) = 1单位本金在 t 时刻的累积值

a(0) = 1

通常假设 a(t) 是非减函数

累积金额

如果有本金 P，则 t 时刻的累积值：

A(t) = P · a(t)

A(0) = P

第 n 期利息

Iₙ = A(n) − A(n−1)

第 n 期实际利率

iₙ = Iₙ / A(n−1)
第一节 · 单利

Simple Interest
单利

定义

利息仅以原始本金为计算基础，不再产生利息。

a(t) = 1 + i · t

A(t) = P (1 + i · t)

单利是时间 t 的线性函数。常用于短期贷款（≤1年）和国库券。

示例

本金 10,000 元，年利率 5%，期限 3 年

每年利息

500 元

3 年后本利和

11,500 元
第一节 · 复利

Compound Interest
复利

定义

每一期的利息加入本金，在下一期与本金一起产生利息——"利滚利"。

a(t) = (1 + i)^t

A(t) = P (1 + i)^t

复利是指数增长。金融数学默认复利。

示例

同样本金 10,000 元，年利率 5%，期限 3 年

3 年后本利和

11,576.25 元

比单利多 76.25 元

第一节 · 关键对比

单利 vs 复利
时间越长差距越大

单利 · Simple

1.25 倍

5年，年利率 5%

复利 · Compound

1.28 倍

5年，年利率 5%

→

30年差距

1.8 倍

复利是单利的 1.8 倍

1.00 元

t < 1 年：单利 > 复利

1.00 元

t = 1 年：单利 = 复利

>1.00

t > 1 年：复利 > 单利

第二节 · 实际利率

实际利率
Effective Rate of Interest

定义

1 单位本金在 1 个计息期期末所产生的利息。

i = a(1) − a(0)

在复利下：a(t) = (1 + i)^t

i 是"期末看"的利率

核心理解

期初投入

1 元

期末获得

1 + i 元

i 是金融数学中最基础的利率度量。后续所有公式都基于它。

第二节 · 实际贴现率

实际贴现率
Effective Rate of Discount

定义

1 单位累积值在 1 个计息期期初所对应的利息。

d = [a(1) − a(0)] / a(1)

d 是"期初看"的利率

贴现思维

期末的 1 元，期初值多少？

期末

1 元

期初

1 − d 元
第二节 · 核心推导

d 与 i 的等价关系

期末的 1 元，期初值 v = 1/(1+i) 元

贴现掉的利息 = 1 − v = 1 − 1/(1+i) = i/(1+i)

所以：

d = i / (1 + i)

反解

i = d / (1 − d)

折现因子

v = 1 − d
第三节 · 名义利率

名义利率
Nominal Rate of Interest

问题

如果一年计息 m 次，如何描述利率？

例如：年利率 12%，按月复利

定义

i^(m) = m · i_(1/m)

i^(m) 是"年度化"的名义利率

每期实际利率 = i^(m) / m

与年实际利率的关系

1 + i = (1 + i^(m)/m)^m

i^(m) 不是实际的年利率，而是用于描述计息频率。

第三节 · 示例

i^(12) = 12%
→ 年实际利率是多少？

按月复利

月利率 = 12% / 12 = 1%

(1 + 0.01)^12 = 1.126825

年实际利率

12.68%

连续复利（m→∞）

lim (1+r/m)^m = e^r

年实际利率

12.75%

频率越高，实际利率越大（有上界）

第三节 · 名义贴现率

名义贴现率
Nominal Rate of Discount

定义

一年贴现 m 次对应的年度化贴现率。

d^(m) = m · d_(1/m)

与折现因子的关系

v = (1 − d^(m)/m)^m

每期贴现率 = d^(m) / m

重要恒等式

(1 + i^(m)/m)^m = (1 − d^(p)/p)^(−p) = e^δ

所有这些都在描述同一个"时间价值"——只是度量方式不同。

第三节 · 利息力

利息力
Force of Interest

定义

利息力 δ 是连续复利下的瞬时利率。

δ = ln(1 + i)

ln = 自然对数

用 δ 表示其他

1 + i = e^δ
v = e^(−δ)
a(t) = e^(δt)

i^(m) 与 δ：

lim(m→∞) i^(m) = δ

m 越大，名义利率越接近利息力

积累函数最简形式：

a(t) = e^(δt)

数学上最简洁的表达

概念总结

四种利率度量
的关系网

i

实际利率

d = i/(1+i)
d

实际贴现率

i^(m) = m[(1+i)^(1/m)−1]
d^(p) = p[1−v^(1/p)]
i^(m)

名义利率

d^(p)

名义贴现率

δ = lim i^(m) = lim d^(p)
δ

利息力

重难点辨析

关键不等式
i > d

为什么 i > d？

i 以较小的基数（期初本金）计算

d 以较大的基数（期末累积值）计算

同样的利息额，基数越小利率看上去越大

示例：i = 10%

d = i/(1+i) = 0.10/1.10

≈ 9.09%

δ = ln(1.10) ≈ 9.53%

大小排序（m > 1时）

d < d^(p) < δ < i^(m) < i

直观理解

i → 期末收利息，基数小

d → 期初收利息，基数大

关键：i > δ > d（当 i > 0 时）

本课总结

核心要点

积累函数 a(t) 是金融数学的基石

单利：a(t) = 1 + it | 复利：a(t) = (1 + i)^t

实际利率 i vs 实际贴现率 d：d = i/(1+i)

名义利率 i^(m)：一年计息 m 次的年度化表示

利息力 δ = ln(1+i)：连续复利的核心工具

记住：d < δ < i（当 i > 0 时）

下次课：确定年金

课后任务：练习名义利率换算 · 预习年金概念